문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 오일러 공식 (문단 편집) === 전자공학, 진동학, 제어공학 === [[전자공학]]에서 이 식이 없었다면, 모든 전자분야가 이 정도로 발전하긴 힘들었을지도 모른다. 간단히 말하자면 주파수에 관련하여 [math( e^{j\omega t} )] 형태의 서술이 꼭 필요하다.[* [math( \omega )]는 각주파수, [math( j )]는 허수 단위. 전류가 이미 [math(i)]를 먹어버린 전자공학에서는 허수 단위를 [math(i)] 대신 [math(j)]로 표기한다.] 이런 복소지수 표현은 전자공학을 공부하거나, 혹은 진동에 대해서 공부한다면 페이저라는 형태로 매 강의마다 당연히 보게된다. 특히 무선통신은 이 식 없이는 설명이 거의 불가능하다. [[전자기학]]에서도 중요한 식인데 전자기학 자체가 이 등식처럼 전기와 자기를 결합하는 이론이기 때문이다. ||{{{+1 [math( x =A\cos \left( wt+\theta \right) =\text{Re}\left[ Ae^{j\left( \omega t+\theta \right) }\right])]}}} {{{+1 [math(\rightarrow X =Ae^{j\theta } =A\angle \theta )]}}}|| 즉 진폭과 진동수를 가지고 진동하는 모든 것들(가령 AC 신호)은 삼각함수를 사용하면 난해하기 때문에 삼각함수를 대체하기 위해서[* 삼각함수의 지저분한 공식들을 생각해보자. 그에 비하면 지수함수의 계산은 매우 간단하다. 따라서 지수함수와 오일러의 공식을 이용한 복소 지수 표현으로 삼각함수를 대체하면 식의 전개가 매우 간단해진다. 페이저는 여기서 한발짝 더 나가 [[선형 변환]]에서 주파수는 변하지 않으므로 복소 지수 표현에서 주파수를 뻬고 크기와 위상만 표기해서 더 쓰기 편하게 만든다는 개념이 포함되어 있다.], 그리고 미분방정식을 대수적으로 쉽게 풀기 위해서 등 다양한 이유로 인해, 저런 복소 지수표현을 통해 미분이고 적분이고 지지고 볶고 계산한 후, 이후 실수부가 필요할 경우[* 예를 들면 입출력 함수를 t(시간)에 관한 식으로 표현하는 경우] [math(\text{Re}\left[\cdot\right])][* 순수수학에서는 [math(\Re(\cdot))]로 쓰기도 한다. 자매품으로 허수부만을 취하는 [math(\Im(\cdot))] / [math(\mathrm{Im} \left[ \cdot \right])] 이 있다.]를 씌워 실수부를 취하는 것이다. 이것을 페이저 변환이라 부르기도 한다. 오일러의 공식과 페이저의 유용함을 확인하기 위해 페이저 사용법 중 하나를 살펴보자. [math(\dfrac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}e^{j\omega t}=j\omega e^{jwt})]이므로 [math(\dfrac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}\equiv jw)]라는 뭔가 이상한 정의를 해보자. 이를 [[미분방정식]]에 대입해서 [math(\dfrac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t})]를 [math(jw)]로 모조리 바꿔치기하면 미분방정식이 대수방정식으로 바뀌게 되어 해를 매우 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어 [[저항]], [[커패시터]], [[인덕터]]가 복잡하게 들어간 회로를 정상 상태 분석(steady state analysis)하려면 연립 미분방정식을 풀어야 한다. 이때 페이저를 도입하면[* 입력 신호가 교류 사인곡선 형태라면 페이저를 바로 도입할 수 있다. 입력 신호가 사인곡선이 아닌 다른 형태여도 [[푸리에 해석]]에 의해 신호를 삼각함수의 합으로 표현하는게 가능하므로 페이저를 도입하는게 가능하다.] [[키르히호프의 법칙]] 등 DC 저항 회로를 해석하는 방식을 그대로 적용해서 대수방정식 풀이만으로 간단히 회로 해석이 가능하다. [[회로이론]] 문서 참조. 이런 식으로 미분연산자를 치환해서 해를 구하는 방법은 당시 수학자들이 보기에 수학적 엄밀함이 황당할 정도로 부족했고 오류로 가득 차 보였으므로 [[올리버 헤비사이드]]가 이 방법을 제안했을 때 많은 수학자들의 공격을 받았다. 헤비사이드는 수학자들의 비판에 대해 "증명은 실험실에서 한다.", "나는 소화과정을 이해하지 못한다는 이유로 저녁식사를 거부하진 않는다."고 비꼬았다고 한다. 미분방정식의 풀이 방법은 이상했지만 결과는 정확하게 나왔으므로 이를 기반으로 임피던스 등의 유용한 개념이 개발되었으며, 후에 [[라플라스 변환]]과의 관련성이 밝혀지면서 수학적 엄밀함을 확보하게 되었다. 다음은 무선 통신에서 오일러의 공식을 사용한 예인데, 무선 통신에서 안테나를 사용해 채널로 쏘아 보내는 신호를 오일러의 공식을 사용해서 [math(\mathrm{Re}[s_{l}\left( t\right) e^{j2\pi f_{c}t}])] 이렇게 나타낼 수 있다. [* [math( \omega \triangleq 2 \pi f )]로 정의하면 [math(\mathrm{Re}[s_{l}\left( t\right) e^{j \omega_{c} t}])]로 바꿔 쓸 수도 있다. 이와 같은 표현을 '페이저 [math(s_l (t) )]를 순시치로 변환한다'고 말한다.] 음성, 영상등의 정보를 표현하는 신호인 [math(s_{l}\left( t\right))]를 원하는 주파수 대역에 통과시키기 위해 캐리어 주파수가 [math(f_{c})]인 고주파로 바꿔주는 것이다.[* [math(\mathrm{Re}[s_{l}\left( t\right) e^{j2\pi f_{c}t}])]를 푸리에 변환하면 [math(\dfrac {1} {2}S_{l}\left( f-f_{c}\right) +\dfrac {1} {2}S_{l}^{\ast }\left( -f-f_{c}\right))]가 되는데 [math(s_{l}\left( t\right))]의 스팩트럼이 고주파 대역으로 이동한 모습이다. 참고로 라디오에서 원하는 채널의 방송을 듣기 위해 주파수를 맞춰줘야 하는데, 이때 맞춰주는 주파수가 듣고자 하는 라디오 채널의 캐리어 주파수 [math(f_{c})]이다.] [math(s_{l}\left( t\right))]에 그냥 [math(\cos \left( 2\pi f_{c}t \right))] 을 곱하지 않고 복잡하게 [math(\mathrm{Re}[s_{l}\left( t\right) e^{j2\pi f_{c}t}])] 하는 식으로 나타낸 이유는 [math(s_{l}\left( t\right))]가 복소수 신호이기 때문인데, 자세한 내용은 [[변조(통신)]] 항목 참조.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기